پژوهش آموزگاران آلماني با نام‌هاي پير (Pierre) و دينا وَن هيل (Dina van Heile) معروفترين تحقيق در زمينه‌ی هندسه‌ی ایستا است. نمونه‌ی هندسي آن دو كه در سال‌هاي پاياني دهه‌ی 50 ميلادي ارائه شد و تا كنون نيز به قدرت‌ خود باقی است. پيشرفت دانش‌آموزان را در قلمروي پنج مرحله‌اي از مهارت­ها توضيح مي‌دهد. (كلمنتس و باتيستا، 1992)

اين مراحل به شرح زير است:

الف- مرحله‌ی اول: بصري / ديداري  (Visual)    
دانش‌‌آموزان اشكال هندسي را از روي ظاهر آنها، نه از ويژگيهايشان، تشخيص مي‌دهند. به عنوان مثال مستطيل را از روي شباهت آن با در تشخيص مي‌دهند.

 

ب- مرحله‌ی دوم: تحليلي / تشريحي   (Descriptive/Analytic)    
دانش‌آموزان اشكال هندسي را بيشتر از روي خصوصيات آنها توصيف مي‌كنند تا از روي ظاهرشان. مثلاً يك شكل هندسي مربع است زيرا 4 زاويه‌ی قائمه و 4 ضلع مساوي دارد.

 

ج- مرحله‌ی سوم: رابطه‌اي / انتزاعي    (Abstract/Relational)    
در اين مرحله دانش‌آموزان با استفاده از خصوصيات هندسي اشكال را دسته‌بندي و طبقه‌بندي مي‌كنند. به عنوان نمونه يك مربع نمونه‌اي خاص از يك مستطيل است. براي مشاهده‌ی نمونه‌هاي بهتر به كتابPhylisophyCarnegie Mellon University  كيم(2000،1994) مراجعه كنيد.

 

د- مرحله چهارم: تعريف تفصيلي     (Formal Description)    
در اين مرحله دانش‌آموزان در سيستمي متعارف برهان­هايي را ارائه مي‌دهند.

 

ه- مرحله‌ی پنجم: رياضي        (Rigor/Mathematical)    
دانش‌آموزان با استفاده از استدلال­هاي تفصيلي، دو سيستم متعارف و متفاوت را مقايسه مي‌كنند.

 

بنابر مدل ون هيل، دانش‌آموزان منطبق با اين مراحل، به ترتيب و بدون از قلم انداختن يكي از مراحل پيش مي‌روند (كلمنتس و باتيستا، 1992، ون هيل، 1986).

بر طبق اين مدل رسيدن به مراحل بعدي بيشتر به روش آموزش بستگي دارد نه به سن دانش‌آموزان. ساختار ون هيل نه تنها اساس تحقيق در هندسه‌ی ایستا است (به عنوان مثال به فايز، جدس و تيشلر، 1998 مراجعه كنيد) بلكه پايه‌ی حداقل 2 برنامه‌ی درسي در هندسه‌ی پويا است (باتيستا، 1998؛ چوي، 1996).

مرحله‌ی 1 تا 3 مدل ون هيل همگي استفاده‌ی دانش‌آموزان از زبان را هنگام مشاهده‌ی اشكال هندسي ثابت توصيف مي‌كند. آيا هيچ يك از اين سه مرحله در حيطه‌ی هندسه‌ی پويا نيز همان­گونه باقي مي‌ماند؟ بله. همان­گونه كه دانش‌آموزي در مرحله‌ی اول اين مدل مستطيل را به در تشبيه مي‌كند، در هندسه‌ی متحرك نيز دانش‌آموز از تشبيه‌هايي اينچنين استفاده مي‌كند. علاوه بر دسته‌بندي اشكال با توجه به شكل آن­ها، دانش‌آموزان ما اشكال هندسي را براساس حركت آنها روي صفحه‌ی مانيتور شرح مي‌دهند.

 

منبع:

van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight: Theory of mathematics education. Orlando, FA: Academic Press.